一、x \to a（有限），f(x) \to L（有限）
定义：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0，当 0 < |x - a| < \delta 时 |f(x) - L| < \varepsilon
证明步骤：
需证 \lim_{x \to a} f(x) = L
设 \varepsilon > 0 任意给定
由 |f(x) - L| < \varepsilon 推导 x 的条件
取 \delta = \cdots（含 \varepsilon 的表达式）
当 0 < |x - a| < \delta 时 \implies |f(x) - L| < \varepsilon
故 \lim_{x \to a} f(x) = L
二、x \to a（有限），f(x) \to +\infty
定义：\forall M > 0, \exists \delta > 0，当 0 < |x - a| < \delta 时 f(x) > M
证明步骤：
需证 \lim_{x \to a} f(x) = +\infty
设 M > 0 任意给定
由 f(x) > M 推导 x 的条件
取 \delta = \cdots（含 M 的表达式）
当 0 < |x - a| < \delta 时 \implies f(x) > M
故 \lim_{x \to a} f(x) = +\infty
三、x \to a（有限），f(x) \to -\infty
定义：\forall M > 0, \exists \delta > 0，当 0 < |x - a| < \delta 时 f(x) < -M
证明步骤：
需证 \lim_{x \to a} f(x) = -\infty
设 M > 0 任意给定
由 f(x) < -M 推导 x 的条件
取 \delta = \cdots（含 M 的表达式）
当 0 < |x - a| < \delta 时 \implies f(x) < -M
故 \lim_{x \to a} f(x) = -\infty
四、x \to \infty，f(x) \to L（有限）
定义：\forall \varepsilon > 0, \exists X > 0，当 x > X（或 |x| > X）时 |f(x) - L| < \varepsilon
证明步骤：
需证 \lim_{x \to \infty} f(x) = L
设 \varepsilon > 0 任意给定
由 |f(x) - L| < \varepsilon 推导 |x| 的条件
取 X = \cdots（含 \varepsilon 的表达式）
当 [x > X]（或 |x| > X）时 \implies |f(x) - L| < \varepsilon
故极限成立
五、x \to \infty，f(x) \to +\infty
定义：\forall M > 0, \exists X > 0，当 x > X（或 |x| > X）时 f(x) > M
证明步骤：
需证 \lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty
设 M > 0 任意给定
由 f(x) > M 推导 |x| 的条件
取 X = \cdots（含 M 的表达式）
当 [x > X]（或 |x| > X）时 \implies f(x) > M
故极限成立
六、x \to \infty，f(x) \to -\infty
定义：\forall M > 0, \exists X > 0，当 x > X（或 |x| > X）时 f(x) < -M
证明步骤：
需证 \lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty
设 M > 0 任意给定
由 f(x) < -M 推导 |x| 的条件
取 X = \cdots（含 M 的表达式）
当 [x > X]（或 |x| > X）时 \implies f(x) < -M
故极限成立
统一规律：
核心参数：
- 函数值有限 \Rightarrow 用 \varepsilon 控制精度
- 函数值无穷 \Rightarrow 用 M 控制界限
邻域构造：
- x 趋向有限点 a \Rightarrow 构造 \delta（半径）
0 < |x - a| < \delta - x 趋向无穷 \Rightarrow 构造 X（阈值）
x > X \quad \text{或} \quad |x| > X
不等式方向：
- f(x) \to L \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon
- f(x) \to +\infty \Rightarrow f(x) > M
- f(x) \to -\infty \Rightarrow f(x) < -M
构造技巧：
- 从目标不等式反解 |x-a| 或 |x| 的范围
- 通过放缩简化表达式（如 x^2 + 1 > x^2 > M \Rightarrow 取 X = \sqrt{M}）
- \delta/X 表达式需显式给出（如 \delta = \min\{1, \varepsilon/5\}）
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